سلام.
شما باید یک سرویس ایجاد کنید و آهنگ رو در سرویس اجرا کنید که این کار باعث میشه وقتی بین اکتیویتی ها دارید جابه جا میشید آهنگ قطع نشه.
بعد باید یه listener برای دکمه home تعریف کنید و توش آهنگ رو قطع کنید
در تصحیح این پست:
البته چون کلاس Application هم ذاتا یک سرویسه، میتونید آهنگ رو در این کلاس هم اجرا و قطع کنید که نسبت به ایجاد کردن سرویس کار کمتری میبره. البته یک سری محدودیت های ماندگاری در حافظه داره که در مورد شما فکر نمی کنم مشکلی ایجاد کنه.